ابوالفضل مهاجر
وظيفه اي كه ويتگنشتاين براي خود مقرر كرده بود عبارت بود از «نقد زبان» و پالايش آن از آنچه كه نبايد در حوزه  آن قرار گيرد اما به خاطر بدفهمي چارچوبهاي زبان كه همانا ريشه در «منطق» دارند به اين محدوده وارد شده اند. از همين جا معلوم مي شود كه «منطق» در انديشه ويتگنشتاين جايگاهي بس عظيم دارد و بي راه نيست اگر كه او را «منطق دان» بناميم اما در اين ميان نظرات ويتگنشتاين در مورد گزاره هاي رياضي و كلاً درباره فلسفه رياضي مقامي خاص دارد. زيرا كه او بايد نشان دهد پايگاه معرفت شناختي اين گزاره  ها از كجا ناشي مي شوند.
ويتگنشتاين در حوزه فلسفه رياضي با پرسشهايي جدي از قبيل «ضرورت قضاياي رياضي از كجا ناشي مي شود؟» «ماهيت گزاره هاي رياضي در منطق» چيست؟ «ماهيت عدد چيست؟» «مباني رياضيات چگونه ساخته مي شوند؟» و غيره روبه روست. زماني كه او به حوزه بحث درباره مباني رياضيات قدم گذاشت، زمان بحث هاي مفصل فرگه و راسل در اين باره بود. اينان هر چند به گونه اي متفاوت، معتقد بودند كه رياضيات را مي بايد از اصول موضوعه اي (منطقي) استنتاج كرد.
اما ويتگنشتاين اين عقيده را به كنار نهاد، از نظر او گزاره هاي منطق، همان گوييهايي بيش نيستند پس ايده فرگه و راسل يعني فروكاهي پايه هاي رياضيات به منطق چندان موجه جلوه نمي كند. ويتگنشتاين همچنين عقيده  امثال فرگه را كه اعتقاد داشتندگزاره هاي رياضي بازنمايي واقعيات عيني هستند مردود مي داند و معتقد است كه اينان فريب خورده گرامر زبان اند كه شكل منطقي گزاره هاي رياضي را مي پوشاند. [مثال مشهور در اين باره تساوي ۴=۲+۲ است كه در حقيقت بازنمايي ۱+۱+۱+۱=(۱+۱)+(۱+۱) مي باشد.] از نظر وي گزاره هاي رياضي همانند همانگوييها هستند و در حقيقت كاملاً صوريند. البته مي توان مثلاً اعداد را براي متمايز ساختن اموري در عالم به كاربرد چنانكه مي گويم «من ۱ ساعت دارم»   و بنابراين خود را از وضعي كه «من ۳ ساعت دارم» يا «من هيچ ساعتي ندارم» متمايز مي سازم ولي حتي در اين حالتها هم جز اين نيست كه آنچه من به كار برده ام تنها مراحل مختلف يك عمل صوري را باز مي نمايانند.
از اينجا برخي همچون «مايكل ذامت» ويتگنشتاين را اصالت قراردادي انگاشته اند، كه اين يكسره بدفهمي گفته هاي ويتگنشتاين است. او نمي گويد كه معادلات رياضي صرفاً معاني اي دارند كه از اين قراردادهاي ما (يا ذهن ما) ناشي مي شوند. او مي گويد كه اين معادلات نشانگر هم ارزيهايي هستند، فقط نشانگر، و نه حتي بيان كننده. معادله ۴=۲+۲ صرفاً بازنمايي واقعيت ۱+۱+۱+۱=(۱+۱)+(۱+۱) است، چيزي كه نمي توان بيان داشت تنها مي توان نشانش داد. اما آيا مي توان در گزاره هاي رياضي شك آورد؟ اگر مي توان تا چه حد؟ به عبارت ديگر گزاره هاي رياضي تا چه حد يقيني هستند؟ نبوغ واقعي ويتگنشتاين در پاسخي است كه به اين پرسش مي دهد. او مي گويد كه شك در گزاره هاي رياضي فاقد هرگونه معني است.لذا نظر امثال راسل و هيوم كه براي اين امور اثباتي را طلب مي كنند يكسره فهم ناپذير است. در اينجا بايد نظر ويتگنشتاين را درباره «حقيقت ضروري» ، «دلايل صدق قضاياي پيشيني» و «رابطه منطق با رياضيات» را بدانيم تا رأيي را كه دربالا آورديم به درستي درك كنيم.
حقايق ضروري، دانستن و يقين
از نظر ويتگنشتاين برداشت امثال اصحاب حلقه وين از «حقايق ضروري» كاملاً اشتباه است.
ضروري ترين حقايق، همانگوييهاي منطق هستند و خارج از منطق همه چيزي تصادفي است. اين تصادفي است كه «كتاب روي ميز است» چون مي توانست چنين نباشد. اما اين كه «كتاب روي ميز هست يا روي ميز نيست» هرگز اتفاقي نتواند بود. اين يك همانگويي منطقي است كه حتي باز بسته به كلمات تشكيل دهنده خود نيز نمي باشد و آنچه خارج از منطق است يعني عالم تجربه عالمي متشكل از بي نهايت امكان كه هميشه [و در لحظه اي خاص] يكي از اين امكانها رخ مي دهد.اما بعد از همانگوييها و در نتيجه در عالم تجربه گزاره هايي هستند كه براي همه بداهت ذاتي دارند و به «قضاياي پيشين» معروفند. گزاره هايي از قبيل اينكه «من دو دست دارم» ، «نام من ابوالفضل است»  و غيره. پرسش اين است كه آيا مي توان در اين گزاره ها شك كرد؟ و يا بهتر از آن اين گزاره ها به كدام معنا يقيني هستند؟
ويتگنشتاين در كتاب «درباب يقين» كه محصول هيجده ماه آخر عمرش است به اين پرسشها پاسخ مي دهد. او مي گويد كه شك تنها در جايي معني پيدا مي كند كه يقين و نيز دانستن در آنجا معني داشته باشد. اگر راهي براي يقين موجود نباشد، شك در آن چگونه ممكن است؟ همين گونه است وقتي كه معناي آن به هيچ راه ميسور نباشد. اما يقين و دانستن نزد ويتگنشتاين مقام هايي بس متفاوت دارند: «آنها دو حالت ذهني مانند» حدس زدن «و» مطمئن  بودن «نيستند آنچه اكنون جالب توجه ماست، مطمئن بودن نيست بلكه دانستن است يعني اين توجه ما را جلب مي كند كه اگر اساساً صدور حكمي ممكن باشد در باب برخي گزاره هاي تجربي شكي نمي توان داشت.»
به عبارت ديگر وقتي گزاره اي را مي شناسيم آن را با گزاره اي دانسته ديگري موجه كرده ايم و اين در مورد همين گزاره هم صادق است. تا جايي به گزاره «يقيني» برسيم و ديگر نتوانيم پيش رويم يعني گزاره اي بديهي تر از آن نتوانيم بيابيم. به نظر ويتگنشتاين فلاسفه اي همچون «مور» و «راسل» در به كار بردن معناي «دانستن» بر سبيل اشتباه بوده اند. اينكه «من مي دانم دو دست دارم» اشتباه است من اين مطلب را «نمي دانم» چون گزاره اي «يقيني تر» از آن در دست ندارم كه با آن اين گزاره را موجه سازم. اگر فرض كنيد دليل بياورم كه «آنها را مي بينم» براي همچو مني كه در وجود دستهايم شك كرده ام، ديده شدن آنها از كجا مي تواند دليلي قانع كننده براي وجودشان باشد؟ اگر كسي شكاك به معني شك كننده در همه چيز باشد آنگاه بايد حتي به زبان و كلماتي كه حتي در هنگام شك به ياري آنها سخن مي گويد نيز مشكوك باشد و بدين گونه راه سخن گفتن به وي بسته مي شود، اما او در حال سخن گفتن است (گيريم از طريق فكر كردن)  پس شكاك به معني شك كننده در همه چيز نيست و اساساً چنين شكي نمي تواند وجود داشته باشد. با اين مقدمه مي توان دانست كه چرا ويتگنشتاين مي گويد شك در قضاياي پيشيني بي  مورد است. بالاتر از آن حتي پرسش «چرا قضاياي پيشيني صادق اند؟» فاقد معنا است. چون اساس اين پرسش بر يك بدفهمي استوار است. بدفهمي اي كه نقش قضاياي پيشيني و تجربي را يكي مي داند و براي به اصطلاح «اثبات» قضاياي پيشيني فاكتهاي تجربي طلب مي كند.
درباره منشاء شناخت قطعي ما از گزاره هاي رياضي هم ويتگنشتاين بر اين عقيده مي رود كه اين قضايا تنها معيارهاي قضاوت ما درباره درستي يا نادرستي محاسبات رياضي هستند. در «يادداشتهايي درباره مباني رياضيات» مي پرسد: قطعيت قضاياي رياضي معلول چيست؟ مثلاً قطعيتي كه به موجب آن عدد و بعد از يك مي آيد و سه بعد از دو و الي آخر؟ و پاسخ مي دهد: در اينجا مسئله  صدق و كذب مطرح نيست بلكه آنچه مهم است كاربرد داشتن اين سري است.
به عبارت ديگر ويتگنشتاين براي احكام رياضي نقش گرامري قائل است. او اين احكام را قواعد «بازي رياضي» مي داند. درست مانند فوتبال و بسكتبال كه قواعدي خاص خود دارند.لذا شك كردن در قضاياي رياضي هم بي معني است اين قواعد بر سازنده فرآيند استنتاج ما هستند و نه چيزي بيشتر. درست همان طور كه شك كردن به قواعد بازي فوتبال بي مورد است. اين مثال البته مثالي نيست كه منظور ويتگنشتاين را به وجهي كامل روشن كند چون قواعد بازي فوتبال قرارداد هستند در صورتي كه چنانكه پيش از اين هم گفتيم ويتگنشتاين را نمي توان طرفدار مكتب اصالت قرار داد دانست.
ويتگنشتاين در «رساله» در گزاره  ۲۲/۶ مي گويد: «منطق جهان كه در گزاره هاي منطق در همانگوييها نمايان مي گردد، در رياضي به شكل معادلات در مي آيد.»
پس اينكه گزاره هاي رياضي اثبات پذيرند به چه معنا تواند بود؟
ويتگنشتاين باز هم در رساله مي گويد كه اين معنايي ديگر جز اين ندارد كه مي توان نسبت به درستي آنها يقين حاصل كرد بي آنكه لازم آيد آنچه را كه بيان مي دارند با واقعيتها مقايسه نمود تا درستي آنها معلوم گردد.
به عبارت ديگر رياضيات را بايد همواره به معناي «بازي رياضي» در نظر گرفت كه درون اين بازي فرآيندهايي رخ مي دهد و آنچه همواره بايد در نظر داشت همين دروني بودن اين فرآيندهاست. لذا «يقين» در رياضيات هم تنها در همين ساختمان دروني معني مي دهد و نه خارج از آن.
ماهيت رياضيات و منطق
ويتگنشتاين در گزاره ۲۳۴/۶ رساله فاش مي گويد: «رياضيات يك روش منطق است» و در توضيح همين گزاره در گزاره ۲۳۴۱/۶ مي گويد: «اساس روش رياضي اين است كه با معادلات كار مي كند. درواقع بر مبناي اين روش است كه بايد هر گزاره اي رياضي بنفسه قابل فهم باشد.»
اما بايد دانست كه اين برداشت ويتگنشتاين هرگز منطبق بانظر فرگه و راسل كه رياضيات را از منطق استنتاج مي كردند نبود. از نظر گاه او رياضيات با منطق رابطه اي دروني دارد. درواقع گزاره هاي رياضيات را مي توان با اعمالي منطقي از يكديگر استنتاج كرد.
در حقيقت روش رياضي كه وسيله حصول معادلات مي شود روش جانشين سازي است. زيرا معادلات مبين جانشين شوندگي دو عبارتند و ما با تعويض عبارات بنابه اقتضاي معادلات، به عبارتهاي ديگر، از پاره اي معادلات به معادلات نوين دست مي يابيم.
اما ماهيت دقيق خود منطق چيست؟ ويتگنشتاين به اين پرسش در گزاره ۱۳/۶ رساله پاسخ مي دهد: منطق آموزه نيست، بلكه تصوير آينه اي جهان است، منطق استعلايي است.
اما مهمترين فرق منطق با علوم تجربي در ارزش گزاره هاي آنها است. در منطق ارزش تمام گزاره ها يكسان است، اين طور نيست كه بعضي از آنها مقدماتي و برخي ديگر از اين گزاره هاي مقدماتي مشتق شده باشند. يك همانگويي خود نشان مي دهد كه يك همانگويي است، احتياجي به مقدمه و اثبات نيست همچنين است مثلاً درباره تناقض (گزاره ۱۲۷/۶ رساله.)
اما در علوم تجربي چنين نيست در اين علوم ارزش  گزاره ها متفاوت است. برخي مقدمه اند و برخي نتيجه و آنها كه مقدمه اند بايد استحكام بيشتري نسبت به نتايج داشته باشند تا بتوانند آنها را موجه كنند.
ويتگنشتاين همچنين درباره «قوانين استنتاج» كه فرگه و راسل بحث آنها را پيش كشيده اند اصلاً با آنها همداستان نيست. از نظر او اصلاً اين قوانين زائد و حاصل بدفهمي هستند. بدفهمي رابطه منطق و علوم ديگر. از نظر ويتگنشتاين چنانچه گزاره q (به نحو منطقي) از p استنتاج شود. اين نحو استنتاج را مي توان فقط از خود اين دو برداشت كرد و به چيزي بيشتر احتياجي نيست. از نظر ويتگنشتاين طرح اين قوانين در حكم تلاش براي اثبات منطق است كه خود بي معنا است چون آنچه را كه مي خواهيم ثابت كنيم خود پيش فرض همه چيز است، آينه اي است كه جهان را به ما باز مي نماياند.
ويتگنشتاين سپس بر برداشت فرگه و راسل از مسئله نماد پردازي منطقي مي تازد. از نظر وي اگر يك نمادپردازي منطقي درست بنا كنيم، باري نشانه ها معني خود را تنها با كاربردشان نشان مي دهند و لذا هرگز مجبور نخواهيم شد ابهامي را رفع كنيم و اگر مجبور شويم چنين كنيم، دستگاه منطقي ما فاقد كارآيي يك دستگاه منطقي واقعي است. اين تقريباً همان قاعده مشهور ويليام اكام (۱۳۴۹-۱۳۰۰ م) است كه مي گويد: يك نشانه منطقي تنها زماني معني دارد كه كاربرد داشته باشد. ويتگنشتاين در گزاره ۳۲۰۸/۳ رساله اين اصل را مي آورد اين رويكرد ويتگنشتاين بر عكس فرگه و راسل به صرفه جويي در مصرف نشانه هاي منطقي مي انجامد.ويتگنشتاين مي گويد كه در تأليف يك كلام منطقي هرگز نبايد معني علامتي خاص نقش ايفا كند بلكه اين تأليف كلام (نحو منطقي) بايد بدون سخن گفتن از معني يك علامت خاص ممكن باشد.
مفهوم عدد
يكي از جالبترين آرا ي ويتگنشتاين به تلقي وي از مفهوم عدد در گزاره ۰۲/۶ رساله مربوط مي شود. از نظر ويتگنشتاين اگر بخواهيم تصوري از «عدد» داشته باشيم مي بايد آن را همانند «عملي» كه با آن يك گزاره از گزاره  ديگر منتج مي شود تصور كنيم. پس هر عدد نماينده يك سري عمليات است.
در اينجا به تمايزي جدي مابين آراء ويتگنشتاين و نظريات امثال فرگه برمي خوريم. از نظر فرگه اعداد هم اسامي اشياء هستند و لذا كاملاً مي توانند مانند اسامي اشياء مثلاً «موصوف» واقع شوند. لذا از نظر فرگه كاملاً با معني است كه بگوييم «۵ چاق است» يا «۵ بزرگ است» اگرچه ممكن است اين گزاره ها غلط باشند. اما از نظر ويتگنشتاين هر دو اين گزاره ها بي معني اند. چرا كه عدد يعني مرحله اي خاص از مراحل تكرار يك عمل صوري و نه اسم يك شيء.
نقد
چنانكه ديديم ويتگنشتاين شك در احكام و گزاره هاي رياضي را از آن جهت بي معني انگاشت كه آنها را صرفاً قواعد «بازي رياضي» يا «گرامر استنتاج و محاسبه» به ديده گرفت.
به عبارت ديگر قبول اين احكام فقط قبول يك مهارت عملي براي محاسبه است و اصلاً ربطي به شناخت ما از نتايج كاربردي اين احكام ندارد بلكه درواقع مقدم بر آن است. اين نظرگاه ويتگنشتاين اگرچه بديع و غيرقابل منتظره است، ولي نتيجه اش مجرد انگاشتن بيش از حد رياضيات بود. بدين گونه ويتگنشتاين از توجيه مسئله كاربرد رياضيات در علوم تجربي و در جهان واقع و بخصوص در فيزيك بازماند. نقد جدي بر آراء ويتگنشتاين در همين موضع صورت مي گيرد. اگر رياضيات آنچنان كه او گفته بود صرفاً يك ساختمان (يابازي) مجرد با تعدادي قواعد و اصول باشد پس چگونه در چنان علومي كاربرد تواند داشت؟ انتقاد بعدي در تلقي ويتگنشتاين از ماهيت رياضيات است، چنانكه ديديم وي معتقد بود كه رياضيات يك روش منطقي است و نيز اينكه منطق بازنماي جهان است پس رياضيات هم كه با منطق رابطه اي دروني دارد بايد ربطي به بازنمايي جهان داشته باشد. ويتگنشتاين در اين باره توضيحي نمي دهد و مسئله را مسكوت مي گذارد.
فلسفه اي كه ويتگنشتاين تأليف نمود تأثير بسزايي بر روند فلسفه داشت. او توانست اعضاي حلقه وين، استادش راسل و بسياري ديگر از نحله هاي فكري غرب را از شيوه جالبش در پرداختن به فلسفه متأثر كند. هرچند كه آنچنانكه خود ويتگنشتاين مي گويد كار اصلي او در حوزه فلسفه رياضيات بوده اما نظريات عجيب و بديعش در اين محدوده باعث مطرود شدنش توسط فلاسفه سنتي رياضيات گرديد. معلوم نيست كه اين باعث سرخوردگيش شد يا نه ولي كسي كه اعتقاد دارد كه جواب تمام مسائل فلسفه را در اساس يافته نبايد كسي باشد كه اين گونه برخوردها از پا دَرَش اندازد.